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动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。动态规划与分治法不同的是:
背包问题
有一个背包,背包总承重3斤
物品 | 重量 | 价格 |
---|---|---|
电脑 | 3 | 3000 |
音响 | 4 | 4000 |
吉他 | 1 | 2000 |
要求达到的目标为装入的背包的总价值最大,并且重量不超出,以及装入的物品不能重复。
思路分析:
背包问题主要是指- 一个给定容量的背包、若干具有-定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)这里的问题属于01背包,即每个物品最多放-一个。而无限背包可以转化为01背包。将其进行制表:
这个时候我们只需要根据原先给出的图用代码进行转换既可以了。 算法的主要思想,利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品,根据 w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品,设v[i]、 w[i]分别为第i个物品的价值和重量,C为背包的容量。再令v[i] [j] 表示在前个物品中能够装入容量为 j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:v [i] [0] = v [0] [j] =0
表示第一行和第一列都是0w[i] > j 时,v [i] [j] = v [i-1] [j]
当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量 i 时,就直接使用上一个单元格的装入策略j >= w[i]时,v[i] [j] = max {v[i-1][j],v[i - 1][j - w[i-1 ]] + v[i]}
当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量, // 装入的方式: v[i-1][j]
:就是上一个单元格的装入的最大值 v[i]
:表示当前商品的价值 v[i-1][j-w[i]]
: 装入i-1商品, 到剩余空间 j - w[i] 的最大值代码实现:
package DynamicProgramming;public class knapsack { public static void main(String[] args) { int[] w = { 3, 4, 1 };// 物品的重量 int[] value = { 3000, 4000, 2000 }; // 物品的价格 int m = 4; // 总容量 int n = value.length; // 物品的个数 // 使用一个二维数组用于存放搭配方案 int[][] path = new int[n + 1][m + 1]; // 使用二维数组表示 表格 int[][] v = new int[n + 1][m + 1]; // 对数组进行初始化 for (int i = 0; i < v.length; i++) { v[i][0] = 0; } for (int i = 0; i < v[0].length; i++) { v[0][i] = 0; } // 对表格进行处理 for (int i = 1; i < v.length; i++) { for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { if (w[i - 1] > j) { v[i][j] = v[i - 1][j]; } else { // v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1]); if (v[i - 1][j] < v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1]) { v[i][j] = v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1]; path[i][j] = 1; } else { v[i][j] = v[i - 1][j]; } } } } for (int i = 0; i < v.length; i++) { for (int j = 0; j < v[i].length; j++) { System.out.print(v[i][j] + " "); } System.out.println(); } //从后往前进行遍历 int i = path.length-1; int j = path[0].length-1; while(i>0&&j>0) { if (path[i][j]==1) { System.out.printf("第%d个物品放入背包\n",i); j-=w[i-1]; } i--; } }}
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